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¿Qué es el límite y ejemplos?

¿Qué es el límite y ejemplos?

Fórmulas límite clase 12

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

para calcular los límites. Sin embargo, también hay muchos límites para los que esto no funcionará fácilmente. El propósito de esta sección es desarrollar técnicas para tratar con algunos de estos límites que no nos permitirán usar simplemente este hecho.

Lo primero que debemos hacer siempre al evaluar los límites es simplificar la función tanto como sea posible. En este caso eso significa factorizar tanto el numerador como el denominador. Haciendo esto se obtiene,

\ ~ Inicio {align*} {mathop {\lim } {limits_{x \ a 2} \frac{{x^2} + 4x – 12}} {{x^2} – 2x}} & = \mathop {{lim}} {limits_{x} {a 2} \frac{{izquierda( {x – 2} {derecha)}{izquierda( {x + 6} {derecha)}} {{x{izquierda( {x – 2} \\N – derecha)} & = \mathop {\lim }\\\Nlimits_{x \\}a 2} \frac{{x + 6} {{align*}]

Definición de límite en matemáticas

De este ejemplo debería quedar claro que para evaluar el límite de cualquier potencia de x a medida que x se acerca a cualquier valor, basta con evaluar la potencia en ese valor.    La aplicación repetida del Teorema 2 lo confirma.

  ¿Cuál es el número de ID?

El estudiante podría pensar que para evaluar un límite a medida que x se acerca a un valor, todo lo que hacemos es evaluar la función en ese valor.    Una de las clases más importantes de funciones para las que esto es cierto son los polinomios.    (Tema 6 de Precálculo.) Un polinomio en x tiene esta forma general:

Ejemplo 2.      Consideremos la función g(x) = x + 2, cuya gráfica es una recta simple.    Y sólo para ser perversos (y para ilustrar un punto lógico al que volveremos en la lección 3), dejemos que la siguiente función f(x) no esté definida para x = 2.    Es decir, que

Pues toda secuencia de valores de x que se acerque a 2, puede acercarse tanto a 2 como queramos.    (El límite de una variable nunca es un miembro de la secuencia, en cualquier caso; Definición 2.1.)    Por tanto, los valores correspondientes de f(x) se acercarán cada vez más a 4.    Se cumplirá la definición 2.2.

Definición de una fórmula límite

Aunque la función (sen x)/x no está definida en cero, a medida que x se acerca más y más a cero, (sen x)/x se acerca arbitrariamente a 1. En otras palabras, el límite de (sen x)/x, a medida que x se acerca a cero, es igual a 1.

Las definiciones formales, ideadas por primera vez a principios del siglo XIX, se dan a continuación. Informalmente, una función f asigna una salida f(x) a cada entrada x. Decimos que la función tiene un límite L en una entrada p, si f(x) se acerca cada vez más a L a medida que x se acerca cada vez más a p. Más concretamente, cuando f se aplica a cualquier entrada suficientemente cercana a p, el valor de la salida se aproxima arbitrariamente a L. En cambio, si algunas entradas muy cercanas a p se llevan a salidas que se mantienen a una distancia fija, entonces decimos que el límite no existe.

  ¿Cuál es el número uno?

La noción de límite tiene muchas aplicaciones en el cálculo moderno. En particular, las numerosas definiciones de continuidad emplean el concepto de límite: a grandes rasgos, una función es continua si todos sus límites coinciden con los valores de la función. El concepto de límite también aparece en la definición de la derivada: en el cálculo de una variable, es el valor límite de la pendiente de las rectas secantes a la gráfica de una función.

Qué es el límite en el cálculo

Así que los límites son importantes; lo que acabo de describir es trivial. No los entiendo. Sé que el cálculo se utiliza a menudo para resolver problemas del mundo real, y que los límites son un elemento importante del cálculo, así que supongo que debe haber algunos ejemplos sencillos del mundo real de lo que describen los límites.

La lectura de tu velocímetro (por ejemplo, 85 km/h) es un límite en el mundo real. Tal vez pienses que la velocidad es la velocidad, por qué no 85 km/h. Pero en realidad tu velocidad está cambiando continuamente durante el tiempo, y el único dato “sólido”, es decir, “sin límites” que tienes es que has tardado exactamente 2 horas en recorrer los 150 km de A a B. La cifra que te da tu velocímetro es en cada instante $t_0$ de tu viaje el límite

Los límites son superimportantes porque sirven de base para las definiciones de la “derivada” y la “integral”, ¡las dos estructuras fundamentales del cálculo! En ese contexto, los límites nos ayudan a entender lo que significa “acercarse arbitrariamente a un punto”, o “ir al infinito”. Estas ideas no son triviales, y es difícil situarlas en un contexto riguroso sin la noción de límite. Así que, de forma más general, el límite nos ayuda a pasar del estudio de la cantidad discreta a la cantidad continua, y eso es de importancia primordial en el Cálculo, y en las aplicaciones del Cálculo.

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