Fórmula del punto crítico
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Cuando se trata de funciones de una variable real, un punto crítico es un punto en el dominio de la función donde la función o bien no es diferenciable o bien la derivada es igual a cero[1] Cuando se trata de variables complejas, un punto crítico es, de forma similar, un punto en el dominio de la función donde o bien no es holomorfa o bien la derivada es igual a cero[2][3] Igualmente, para una función de varias variables reales, un punto crítico es un valor en su dominio donde el gradiente es indefinido o es igual a cero[4].
Este tipo de definición se extiende a los mapas diferenciables entre Rm y Rn, siendo un punto crítico, en este caso, un punto donde el rango de la matriz jacobiana no es máximo. Se extiende aún más a los mapas diferenciables entre variedades diferenciables, como los puntos en los que el rango de la matriz jacobiana disminuye. En este caso, los puntos críticos también se denominan puntos de bifurcación.
Calculadora del punto crítico
Consideremos la función [latex]f(x)=x^2+1[/latex] sobre el intervalo [latex](-\infty ,\infty )[/latex]. Como [latex]x\a \pm \infty[/latex], [latex]f(x)\a \infty[/latex]. Por tanto, la función no tiene un valor mayor. Sin embargo, como [latex]x^2+1\ge 1[/latex] para todos los números reales [latex]x[/latex] y [latex]x^2+1=1[/latex] cuando [latex]x=0[/latex], la función tiene un valor mínimo, 1, cuando [latex]x=0[/latex]. Decimos que 1 es el mínimo absoluto de [latex]f(x)=x^2+1[/latex] y se produce en [latex]x=0[/latex]. Decimos que [latex]f(x)=x^2+1[/latex] no tiene un máximo absoluto (véase la figura 1).
Sea [latex]f[/latex] una función definida sobre un intervalo [latex]I[/latex] y sea [latex]c\en I[/latex]. Decimos que [latex]f[/latex] tiene un máximo absoluto en [latex]I[/latex] en [latex]c[/latex] si [latex]f(c)\Nserá f(x)[/latex] para todo [latex]x\Nen I[/latex]. Decimos que [latex]f[/latex] tiene un mínimo absoluto en [latex]I[/latex] en [latex]c[/latex] si [latex]f(c)\le f(x)[/latex] para todo [latex]x\in I[/latex]. Si [latex]f[/latex] tiene un máximo absoluto en [latex]I[/latex] en [latex]c[/latex] o un mínimo absoluto en [latex]I[/latex] en [latex]c[/latex], decimos que [latex]f[/latex] tiene un extremo absoluto en [latex]I[/latex] en [latex]c[/latex].
Ejemplo de punto crítico
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Tenga en cuenta que requerimos que \ ~ (f\left( c \right)\ ~ existe en orden para \ ~ (x = c\) para ser realmente un punto crítico. Este es un punto importante, que a menudo se pasa por alto. Lo que realmente está diciendo es que todos los puntos críticos deben estar en el dominio de la función. Si un punto no está en el dominio de la función, entonces no es un punto crítico.
Obsérvese también que, en este punto, sólo trabajamos con números reales y, por tanto, cualquier número complejo que pueda surgir al encontrar los puntos críticos (y surgirá en ocasiones) será ignorado. Hay partes del cálculo que funcionan de manera un poco diferente cuando se trabaja con números complejos, por lo que en una primera clase de cálculo como ésta ignoramos los números complejos y sólo trabajamos con números reales. El cálculo con números complejos está más allá del alcance de este curso y normalmente se enseña en cursos de matemáticas de nivel superior.
Qué es el punto crítico en matemáticas
¿Qué son los puntos críticos y cómo se encuentran? El proceso de optimización consiste en encontrar los valores mínimo y máximo de una función. Si utilizamos una calculadora para dibujar la gráfica de una función, normalmente podemos encontrar los valores mínimos y máximos.
Por ejemplo, en el caso de la función esbozada a continuación, podemos ver, con sólo mirar la gráfica, que la función alcanza su valor mínimo en el punto A. Este punto más bajo posible es el mínimo global de la función.
Como los puntos críticos son los puntos en los que la función cambia de dirección, de creciente a decreciente o de decreciente a creciente, el siguiente paso es investigar el comportamiento entre los puntos críticos. Si el valor de prueba da un resultado positivo, significa que la función es creciente en ese intervalo, y si el valor de prueba da un resultado negativo, significa que la función es decreciente en ese intervalo. Pero si encontramos varios puntos críticos, entonces tenemos que encontrar el signo de la derivada a la izquierda del punto crítico más a la izquierda, a la derecha del punto crítico más a la derecha, y entre cada punto crítico.Vamos a continuar con uno de los ejemplos anteriores, mirando el signo de la derivada entre cada punto crítico.
