Desmos
En este explicador aprenderemos a encontrar los puntos críticos de una función y a comprobar la existencia de extremos locales mediante la prueba de la primera derivada.Un máximo o un mínimo local pueden definirse independientemente de las derivadas.Definición: Máximo y Mínimo LocalSupongamos que una función está definida en algún intervalo y consideremos el extremo local en =. Para un valor >0 suficientemente pequeño y para todo lo que está contenido en el intervalo
en una vecindad suficientemente pequeña alrededor de =, según se tenga un máximo o un mínimo local respectivamente. En la práctica, sin embargo, es más fácil determinar los valores máximos y mínimos locales encontrando los puntos críticos de una función
′()=0′().oisundefinedEstos puntos pueden clasificarse como mínimos locales, máximos locales o puntos de inflexión.En otras palabras, para determinar los puntos críticos de una función, tomamos la primera derivada de la función,
Para una función diferenciable, cuando la primera derivada es igual a cero, los puntos críticos se denominan también puntos estacionarios. Es el punto donde la función no es ni creciente ni decreciente, de ahí el nombre de estacionario.Consideremos la función ()=-2 definida en el conjunto de los números reales
Calculadora de puntos críticos
Los puntos críticos de una función nos dicen mucho sobre una función determinada. Por eso se les da tanta importancia y se requiere saber cómo encontrarlos. En esta página hablaremos de la intuición de los puntos críticos y de por qué son importantes, y después veremos algunos ejemplos de cómo encontrarlos.
Dada una función f(x), un punto crítico de la función es un valor x tal que f'(x)=0. Es decir, es un punto donde la derivada es cero. La propiedad más importante de los puntos críticos es que están relacionados con los máximos y mínimos de una función. Más concretamente, un punto de máximo o mínimo debe ser un punto crítico. Sin embargo, lo contrario no es cierto. Es decir, un punto puede ser crítico sin ser un punto de máximo o de mínimo. Me refiero a un punto en el que la función tiene un valor mayor que cualquier otro valor cercano a él. Por ejemplo, la siguiente función tiene un máximo en x=a, y un mínimo en x=b.
Ten en cuenta que un máximo no es necesariamente el valor máximo que toma la función. Esto puede inducir a error. Cuando decimos máximo solemos referirnos a un máximo local. En x=a, la función anterior asume un valor que es máximo para los puntos de un intervalo alrededor de a. Lo mismo ocurre con el mínimo en x=b.Conocer los mínimos y máximos de una función puede ser valioso. Un punto de máximo o mínimo se llama punto extremo. Veremos una aplicación concreta de este concepto en la página sobre problemas de optimización. El primer paso de una estrategia eficaz para encontrar los máximos y los mínimos es localizar los puntos críticos. ¿Cómo lo hacemos? Básicamente tenemos que resolver la siguiente ecuación para la variable x:
Mathway
Los puntos rojos de la gráfica representan los puntos críticos de esa función concreta, f(x). Es aquí donde debes empezar a hacerte algunas preguntas: Si entiendes las respuestas a estas dos preguntas, podrás entender cómo encontramos los puntos críticos. Observa que ambos puntos críticos tienden a aparecer en una joroba o curva de la gráfica. Más concretamente, se encuentran en la parte superior o inferior de estas jorobas. Matemáticamente hablando, la pendiente cambia de positiva a negativa (o viceversa) en estos puntos. Por eso son tan importantes. Para entender cómo se relaciona el número uno con la desviación de un punto crítico, tenemos que recordar qué nos dice exactamente una derivada. La derivada de una función, f(x), nos da una nueva función f(x) que representa las pendientes de las rectas tangentes en cada punto concreto de f(x). Entonces, ¿por qué ponemos esas derivadas iguales a 0 para encontrar los puntos críticos? Observa la siguiente gráfica que muestra diferentes líneas tangentes a f(x):
Las líneas tangentes verdes pasan por nuestros puntos críticos. ¿Cuál es la diferencia entre éstas y las azules? Por un lado, tienen la misma pendiente, mientras que las rectas tangentes azules tienen todas pendientes diferentes. Por otro lado, esa pendiente es siempre un número muy concreto. ¿Quién se acuerda de la pendiente de una recta horizontal? Pues sí. ¡La pendiente de toda recta tangente que pasa por un punto crítico es siempre 0!
¿Cuántos puntos críticos debe de tener una función cuadrática? del momento
El concepto de punto crítico es muy importante en el Cálculo, ya que se utiliza ampliamente en la resolución de problemas de optimización. La gráfica de una función tiene una tangente horizontal o una tangente vertical en el punto crítico. Basándonos en esto, vamos a deducir algunos hechos más sobre los puntos críticos.
Un punto crítico de una función y = f(x) es un punto (c, f(c)) de la gráfica de f(x) en el que la derivada es 0 (o) la derivada no está definida. Pero, ¿cómo se relaciona un punto crítico con la derivada? Sabemos que la pendiente de una recta tangente de y = f(x) en un punto no es más que la derivada f'(x) en ese punto. Ya hemos visto que una función tiene una tangente horizontal o vertical en el punto crítico.
Los valores críticos de una función son los valores de la función en los puntos críticos. Por ejemplo, si (c, f(c)) es un punto crítico de y = f(x) entonces f(c) se llama el valor crítico de la función correspondiente al punto crítico (c, f(c)).
Paso – 4: El dominio de f(x) es el conjunto de todos los números reales y por lo tanto todos los valores x del Paso – 2 y el Paso – 3 están presentes en el dominio de f(x) y por lo tanto todos estos son las coordenadas x de los puntos críticos. Vamos a encontrar sus correspondientes coordenadas y:
