¿Cómo se calculan los puntos críticos?

Cómo encontrar los puntos críticos de una función f(x y)

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlas en modo apaisado. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

Tenga en cuenta que requerimos que \ ~ (f\left( c \right)\ ~ existe en orden para \ ~ (x = c\) para ser realmente un punto crítico. Este es un punto importante, que a menudo se pasa por alto. Lo que realmente está diciendo es que todos los puntos críticos deben estar en el dominio de la función. Si un punto no está en el dominio de la función, entonces no es un punto crítico.

Obsérvese también que, en este punto, sólo trabajamos con números reales y, por tanto, cualquier número complejo que pueda surgir al encontrar los puntos críticos (y surgirá en ocasiones) será ignorado. Hay partes del cálculo que funcionan de manera un poco diferente cuando se trabaja con números complejos, por lo que en una primera clase de cálculo como ésta ignoramos los números complejos y sólo trabajamos con números reales. El cálculo con números complejos está más allá del alcance de este curso y normalmente se enseña en cursos de matemáticas de nivel superior.

Puntos críticos en un gráfico

¿Qué son los puntos críticos y cómo los encontramos? El proceso de optimización consiste en encontrar los valores mínimos y máximos de una función. Si utilizamos una calculadora para dibujar la gráfica de una función, normalmente podemos encontrar los valores mínimos y máximos.

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Por ejemplo, en el caso de la función esbozada a continuación, podemos ver, con sólo mirar la gráfica, que la función alcanza su valor mínimo en el punto A. Este punto más bajo posible es el mínimo global de la función.

Como los puntos críticos son los puntos en los que la función cambia de dirección, de creciente a decreciente o de decreciente a creciente, el siguiente paso es investigar el comportamiento entre los puntos críticos.Para comprobar el signo de la derivada, simplemente elegiremos un valor entre cada par de puntos críticos, e introduciremos ese valor de prueba en la derivada para ver si obtenemos un resultado positivo o negativo. Si el valor de prueba da un resultado positivo, significa que la función es creciente en ese intervalo, y si el valor de prueba da un resultado negativo, significa que la función es decreciente en ese intervalo. Pero si encontramos varios puntos críticos, entonces tenemos que encontrar el signo de la derivada a la izquierda del punto crítico más a la izquierda, a la derecha del punto crítico más a la derecha, y entre cada punto crítico.Vamos a continuar con uno de los ejemplos anteriores, mirando el signo de la derivada entre cada punto crítico.

Calculadora del punto crítico

Para encontrar los puntos críticos de una función, primero hay que asegurarse de que la función es diferenciable, y luego tomar la derivada. A continuación, encuentra todos los valores de la variable independiente de la función para los que la derivada es igual a 0, junto con aquellos para los que la derivada no existe. Estos son nuestros puntos críticos.

Para nuestro primer tipo de punto crítico, aquellos en los que la derivada es igual a cero, simplemente establezco la derivada igual a 0. Haciendo esto, encuentro que el único punto en el que la derivada es 0 es en #x = -2,5#, en cuyo valor #f(x) = -13,25#.

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Para nuestro segundo tipo de punto crítico, busco si hay algún valor de #x# para el que no exista mi derivada. Veo que no hay ninguno, por lo que estoy seguro de afirmar que el único punto crítico de mi función se produce en #(-2,5, -13,25)#

Para un ejemplo un poco más complicado, tomaremos la función #f(x) = x^(2/3)# La diferenciación da como resultado #f'(x) = (2/3)*x^(-1/3)# o #f'(x) = 2/(3x^(1/3))#. En este ejemplo, no hay números reales para los que #f'(x)=0#, pero hay uno en el que #f'(x)# no existe, concretamente en #x=0#. La función original, sin embargo, sí existe en este punto, satisfaciendo así la condición A del resumen. Por tanto, esta función posee un punto crítico en #(0, 0)#.

¿Qué es un punto crítico en el cálculo?

Los puntos rojos de la gráfica representan los puntos críticos de esa función concreta, f(x). Es aquí donde debes empezar a hacerte algunas preguntas: Si entiendes las respuestas a estas dos preguntas, podrás entender cómo encontramos los puntos críticos. Observa que ambos puntos críticos tienden a aparecer en una joroba o curva de la gráfica. Más concretamente, se encuentran en la parte superior o inferior de estas jorobas. Matemáticamente hablando, la pendiente cambia de positiva a negativa (o viceversa) en estos puntos. Por eso son tan importantes. Para entender cómo se relaciona el número uno con la desviación de un punto crítico, tenemos que recordar qué nos dice exactamente una derivada. La derivada de una función, f(x), nos da una nueva función f(x) que representa las pendientes de las rectas tangentes en cada punto concreto de f(x). Entonces, ¿por qué ponemos esas derivadas iguales a 0 para encontrar los puntos críticos? Observa la siguiente gráfica que muestra diferentes líneas tangentes a f(x):

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Las líneas tangentes verdes pasan por nuestros puntos críticos. ¿Cuál es la diferencia entre éstas y las azules? Por un lado, tienen la misma pendiente, mientras que las rectas tangentes azules tienen todas pendientes diferentes. Por otro lado, esa pendiente es siempre un número muy concreto. ¿Quién se acuerda de la pendiente de una recta horizontal? Pues sí. ¡La pendiente de toda recta tangente que pasa por un punto crítico es siempre 0!

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